Boltzmannfaktorn

Boltzmannfaktorn används till exempel i halvledarfysik. Den säger att sannolikheten för exciterade tillstånd (av en elektron eller atom) är proportionell mot exp(-E/kT). Det är för mig otillfredsställande om sådant bara tas ur luften, särskilt när det finns en ganska enkel härledning från statistisk mekanik.

Betrakte ett litet två-nivå-system (E₁ och E₂) som är en del av ett stort system. Det lilla systemet är i termisk kontakt med resten, som fungerar som ett värmebad. När det lilla systemet ändrar energi, är ändringen i värmebadets temperatur T försumbar. Det är också så att dess energiändring E₁ - E₂ är infinitesimal (dE eller dU) i förhållande till badets totala energi. Men det påverkar badets multiplicitet Ω.

Om vi antilogaritmerar entropins definition, får vi Ω = exp(S/k). Från den statistiska definitionen för temperatur får vi dS = dU/T. Förhållandet av multipliciteterna för badet är Ω(E+dE)/Ω(E) = exp[(S(E+dE)-S(E))/k] = exp(dS/k) = exp(dE/kT) = exp((E₁ - E₂)/kT). Och det ger sannolikheterna för det lilla systemet, som är störst för grundtillståndet eftersom det ger badet störst multiplicitet. Badets multiplicitet växer exponentiellt med dess energi. Det är den enkla bakgrunden till Bolzmannfaktorn.